文档介绍：近世代数教案
西南大学
数学与统计学院
张广祥
学时数:80(每周4学时)
使用教材:抽象代数——理论、问题与方法,科学出版社2005
教材使用说明:该教材共10章,本课程学习前6章,覆盖通用的传统教材(例如:张禾瑞《近世代数基础》)的所有内容,但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度,可作为本科近世代数(二)续用。如果不再开设近世代数(二),则可以供有兴趣的学生自学、自读,进一步了解现代代数学更加前沿的内容,拓宽知识面。
教学方法:由于该教材首次在全年级使用,采用教研室集体备课的方式,每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的(3—4题)思考问题供学生独立思考,学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座,介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容:群与Goldbach猜想。
教学手段:黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书:
,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社
, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999
, 近世代数初步, 高等教育出版社2002
der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社
5. , 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002
第一章导引
本章教学目标:
1. 概要了解代数学发展的四个阶段:文字叙述阶段;简化文字阶段;符号代数阶段;结构代数阶段
2. 了解近世代数产生的三大基础:高次方程求根问题与Galois群;费马问题的Kummer方法与理想论;Hamilton四元数;了解近世代数在现代数学中的地位
3. 代数运算的一般定义
4. 群、环、域的定义与初步实例
教学时数:
共3节,每节2学时,共6学时
思考问题:
1. 利用乘法公式解释我国古代筹算开方法的原理。
2. 素数的复整数分解。5=(1+2i)(1-2i),问通常素数的复整数中存在非平凡分解的充分必要条件如何。
3. 证明汤璪真(Z,*)群定理,并推广这个定理:设n是任一固定整数,在整数集上构造一个群,使其单位元是n。
方法与对象
内容要点:概要了解代数学发展的历史;了解形成近世代数三大基础,Galois群,Kummer理想论,Hamilton四元数;了解近世代数在现代数学中的地位。
讲授内容:代数学经历了漫长的发展过程,抽象代数是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支。为了对代数学的发展过程有一个梗概的了解,下面我们考察代数学发展的四个不同阶段。
文字叙述阶段
简化文字阶段
符号代数阶段
结构代数阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantus,公元250年)时代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学。这一阶段算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达,因而代数推理也都采用直观的方法。
在古代中数法:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
筹算开方法
以下摘自李俨著《中国算学史》:筹算开方法见于九章算术,其开方布算列为商、实、法、借算四级。
例求55225之平方根
1)先置积为实,与单位下借算1
商
5 5 2 2 5 实
法
1 借算
2)因实有5位,移借算于百位则商(根)有十位数;移借算于万位则商(根)有百位数。是谓借一算步之,超一等。今移借算1于万位5之下,则根百位数为2(22=4,5-4余1)
2 商
5 5 2 2 5 实
4 法
1 借算
3)去5留1,并于借算1上置根之百位数2,称之为法。
2 商
1 5 2 2 5 实
2 法
1 借算
4)倍法为定法(2×法=定法:2×2=4)
2 商
1 5 2 2 5 实
4 法
1 借算
5)4一退,借算1二退于百位,则商在十位。15÷4 = 3余3,约得根之十位为3,置3于商之十位及法之个位。
2 3 商
1 5 2 2 5 实
4 3 法
1 借算
6)152-43×3=23,去152留23为实。(与第3步相同)
2 3 商
2 3 2 5 实
4 3 法
1 借算
7)法位43+3=46为定法。(与第4步相同)
2 3 商
2 3 2 5 实
4 6