文档介绍：材料力学
第六章弯曲变形
Deformations in Bending
研究梁的变形有二个主要目的:
①对梁进行刚度计算和校核;
②用于求解超静定梁。
q
A
B
C
y
x
P
C’
fB
fC
q
x
§6-1 概述 Introduction
一,基本概念(Basic Concepts):
在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移。
在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面内的一条平面曲线-----挠度曲线(挠曲线Deflection Curve),它又叫弹性曲线(Elastic Curve)。
由图可见,弯曲使梁上任一横截面(如C截面)产生移动和绕中性轴的转动。梁横截面形心的垂直位移(如CC’=fC)称为挠度(Deflection),用y表示(因变形前梁轴在x轴上)。
规定:挠度y向下为正,向上为负。
转角q顺时针为正,逆时针为负。
梁横截面相对于原来的位置转动的角度(如C→
C’点的q)称为转角(Angle of Rotation),常用q表示。
由图易见:
注:梁横截面形心的水平位移为二阶微量(dx<<y);通常忽略不计。
§6-2(1) 梁的挠曲线近似微分方程Differential Equation of Beam Deflection Curve
由(5-1)式知:
由高数得:
注意到:
易得:
因此:
注意:1,小变形时,挠曲线一般为平坦的曲线。
2,剪力Q(x)对梁变形的影响在(L>10h)时,相对于弯矩M(x)对梁变形的影响为高阶微量。故可忽略不计剪力Q(x)引起的位移yQ 。
规定:x轴向右为正,挠度y向下为正,则y’’应与M异号。
故得:
(6-2)式即梁的挠曲线近似微分方程。
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分Integration Method of Elastic Curve
一般M的正负与坐标轴的方向选取无关。而y’’的正负与坐标轴y的方向选取有关。故易得: y轴(↑)选取时y’’=M/(EI);
y轴(↓)选取时y’’=-M/(EI)。
本讲义的y轴为向下(↓)选取!
当梁的弯矩函数确定后,即可积分(6-2)式,求得任意x坐标处横截面的转角:
及其挠度:
其中的积分常数(Integral Constant)C1和C2可由梁对变形的约束来确定(其相应的条件叫边界条件(Boundary Conditions)。此法通常叫二次积分法(Double Integration Method)。
式(6-3a)通常叫转角方程(Rotative Angle Equation)
式(6-3b)通常叫挠度方程(Deflectional Equation)
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分Integration Method of Elastic Curve
常见的边界条件: A B A B
yA=0 yB=0 qA=0, yA=0
当M(x)为分段表示的函数时,此法需分段积分。若分n段则有2n个积分常数。但仍可由边界条件和相邻段分界处的连续条件(Continuity Condition)来确定。
连续条件:弹性曲线应为连续(曲线上任一点y左= y右,不断开,为连续曲线)、光滑(曲线上任一点q左= q右,无尖角,即dy/dx为连续函数)的曲线。
Pl P
A B A B
l
l
(a)
(b)
在y轴(↓),x轴(→)时: y>0 则 y↓; y<0 则 y↑;
q>0 则 q ; q<0 则 q
显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁的支座情况有关。如图(a),(b)的Q,M图相同,但变形由于支座的不同而不同。
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分Integration Method of Elastic Curve
例题6-1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和最大转角qmax。
解:为了应用公式(6-2b)求解,首先写出此梁的弯矩方程。为此,可取x处横截面右侧梁段,由荷载P直接写出:M(x)= -P(l-x) (l)
将式(1)中的M(x)代入公式(6-2b),即得挠曲线近似微分方程:
EIy”=-M(x)=Pl-Px (2)
然后通过两次积分,即得: EIy'=Plx-Px2/2+C (3)
EIy = Plx2/2-Px3/6+Cx+D (4)
在悬臂梁中,边界条件是固定端处的挠度和转角都等于零。
即在x=0处:y’=0 ;在x=0处:y=0 根据这两个边界条件,可得: C=0 及 D=0
将已确定的这两个积分常数代入(3)、