文档介绍：材料力学
第六章弯曲变形
Deformations in Bending
研究梁的变形有二个主要目的:
①对梁进行刚度计算和校核;
②用于求解超静定梁。
§6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角Method of Superposition
例题6-4 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度fC和支座处横截面的转角qA、qB 。
解:此梁上的荷载可以分为两项简单的荷载,如图b、c 所示:
在反对称荷载作用下,梁的挠曲线对于跨中截面应是反对称的,因而跨中截面的挠度fC2 应等于零。由于C截面的挠度为零,但转角不等于零,且该截面上的弯矩又等于零。故可将AC段和CB段分别视为受均布荷载作用且长度为l/2的简支梁,因此,由附录IV表中查得:
例题6-5 试利用叠加法,求图a 所示抗弯刚度为EI的简支梁的跨中截面挠度fC和两端截面的转角qA 、qB 。
解:为了利用附录IV表中的结果,可将图a所示荷载视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加(图b)。
§6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角Method of Superposition
将相应的位移值进行叠加,即得:
在正对称荷载作用下,梁跨中截面的挠度以及两端截面的转角,由附录IV表中查得分别为:
§6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角Method of Superposition
例题6-6 一抗弯刚度为EI的外伸粱受荷载如图a所示,试按叠加原理并利用附录IV的表,求截面B的转角qB以及A端和BC段中点D的挠度fA 和fD 。
§6-4(1)梁的刚度校核Rigidity Condition of Beam
工程上一般要求:
式中:
土建工程中通常只限制且
故梁的刚度条件又可表达为:
在土建工程方面,[f/l]的值常限制在:1/250~1/1000范围内;
在机械制造工程方面,对主要的轴,[f/l]的值则限制在1/5000~ 1/10000范围内;
对传动轴在支座处的许可转角[q]~。
对于一般土建工程中的构件,强度要求如能满足,刚度条件一般也能满足。因此,在设计工作中,刚度要求比起强度要求来,常处于从属地位。但是,当正常工作条件对构件的位移限制很严,或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时,刚度条件有时也可能起控制作用。
例题6-7 简支梁如图,已知按强度条件所选择的梁为两根20a号槽钢,每根槽钢的惯性矩I=1780cm4,钢的弹性模量为E=210GPa。此梁许可的挠度与梁跨长的比值为[f/l]=1/400。试核核此梁的刚度。
解:由于简支梁上的横向力指向相同,其挠曲线上将无拐点。因此,可将梁跨中点C处的挠度fC作为梁的最大挠度fmax。根据附录 IV的第11种情况,按叠加原理可求得最大挠度的数值为:
§6-4(1) 梁的刚度校核Rigidity Condition of Beam
注意到:∵a≥b, a+b=l
∴b< l/2
故将:E=210GPa,I=1780cm4;
P1=120kN,b1=;P2=30kN,
b2=;P3=40kN,b3=;
P4=12kN,b4=,得:
§6-4(2) 提高梁的刚度的措施
式中为广义荷载q , P ,M等;
E I
可增大
同类材料(如软钢与高强度钢)变化不大。
由当前的结果知梁的挠度f和转角与梁的支承情况、荷载情况、材料选取、截面形状与尺寸、跨长等因素有关。一般可表为:
k为由支承和荷载决定的系数。
故当梁的支承和荷载确定后,可采取下列措施来提高梁的刚度:
( l , a )和改变结构
§6-5 梁内的弯曲应变能
例题自学
对纯弯曲梁,如图,梁轴线弯曲后成为曲率k=1/r=
M/EI的园弧,l弧长内的圆心角为:
故其弯曲应变能为:
在横力弯曲时,梁内应变能包括两部分:
①与弯曲变形相应的弯曲应变能。②与剪切变形相应的剪切应变能。
如左图,在小变形、线弹性的条件下,其弯曲应变能为:
当梁的l>>h时,梁的剪切应变能要比弯曲应变能小得多,通常忽略不计。
§6-6 简单超静定梁的解法Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam
我们前面讨论的均为仅用平衡方程就能确定所有的支座反力和内力的梁——静定梁(SDB)。
若对静定梁增加支座,则变为未知反力数> 独立的平衡方程数的超静定梁(SIB)。
未知反力数- 独立的平衡方程数= n: 超静定次(阶)数(Degree of SI)
n 阶超静定梁有 n 个多余约束(Redundant Cons