线性代数(同济大学)1-4 PPT课件.ppt

文档介绍：§4 对换
一、对换的定义
定义
在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.
将相邻两个元素对换,叫做相邻对换.
例如
备注
相邻对换是对换的特殊情形.
一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
如果连续施行两次相同的对换,那么排列就还原了.
m 次相邻对换
m+1次相邻对换
m 次相邻对换
m+1次相邻对换
二、对换与排列奇偶性的关系
定理1 对换改变排列的奇偶性.
证明
先考虑相邻对换的情形.
注意到除外,其它元素的逆序数不改变.
当时, , , .
当时, , , .
因此相邻对换改变排列的奇偶性.
既然相邻对换改变排列的奇偶性,那么
2m+1次相邻对换
因此,一个排列中的任意两个元素对换,排列的奇偶性改变.
推论
奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为零),因此可知推论成立.
证明
因为数的乘法是可以交换的,所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的,即
每作一次交换,元素的行标与列标所成的排列
与都同时作一次对换,即与同时改变奇偶性,但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.
于是与同时为奇数或同时为偶数.
即是偶数.
因为对换改变排列的奇偶性, 是奇数, 也是奇数.
设对换前行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为.
所以是偶数,
因此,交换中任意两个元素的位置后,其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.
设经过一次对换后行标排列的逆序数为
列标排列的逆序数为
经过一次对换是如此,经过多次对换还是如此. 所以,在一系列对换之后有