线性代数(同济大学)1-5 PPT课件.ppt

文档介绍：§5 行列式的性质
一、行列式的性质
行列式称为行列式的转置行列式.
若记,则.
记
性质1 行列式与它的转置行列式相等,即.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证明
根据行列式的定义,有
若记,则
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
验证
于是
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.
证明
互换相同的两行,有,所以.
备注:交换第行(列)和第行(列),记作.
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数,等于用数乘以此行列式.
验证
我们以三阶行列式为例. 记
根据三阶行列式的对角线法则,有
备注:第行(列)乘以,记作.
推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
备注:第行(列)提出公因子,记作.
验证
我们以4阶行列式为例.
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,
例如:
则
验证
我们以三阶行列式为例.
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.
则
验证
我们以三阶行列式为例. 记
备注:以数乘第行(列)加到第行(列)上,记作.