文档介绍：§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义:在 m×n 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列( k ≤ m,k≤n),
位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在 A中所处
的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式.
显然,m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有个.
概念辨析: k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
与元素a12相对应的余子式
相应的代数余子式
矩阵 A 的一个 2 阶子块
矩阵 A 的一个 2 阶子式
定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有
r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵
A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).
规定:零矩阵的秩等于零.
矩阵 A 的一个 3 阶子式
矩阵 A 的 2 阶子式
如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零,那么这个 3 阶子式也等于零.
定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有
r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵
A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).
根据行列式按行(列)展开法则可知,矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式(如果存在的话)都可以用 r +1 阶子式来表示.
如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零,那么所有 r +2阶子式也都等于零.
事实上,所有高于 r +1 阶的子式(如果存在的话)也都等于零.
因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.
规定:零矩阵的秩等于零.
矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.
显然,
若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零,则 R(A) ≥ s ;
若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零,则 R(A) < t .
若 A 为 n 阶矩阵,则 A 的 n 阶子式只有一个,即|A| .
当|A|≠0 时, R(A) = n ;
可逆矩阵(非奇异矩阵)又称为满秩矩阵.
当|A| = 0 时, R(A) < n ;
不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵.
若 A 为 m×n 矩阵,则 0≤R(A)≤min(m, n) .
R(AT) = R(A) .
矩阵 A 的一个 2 阶子式
矩阵 AT 的一个 2 阶子式
AT 的子式与 A 的子式对应相等,从而 R(AT) = R(A) .
例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中
解:在 A 中,2 阶子式.
A 的 3 阶子式只有一个,即|A|,而且|A| = 0,因此 R(A) = 2 .
例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中
解(续):B 是一个行阶梯形矩阵,其非零行有 3 行,因此其 4 阶子式全为零.
以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式
,因此 R(B) = 3 .
还存在其它3 阶非零子式吗?