文档介绍：高考解题技术(4)
巧用数列中项
巧用等差中项
【题1】(2010·全国II卷第4题)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+×××+a7=( )
【解析】注意到4是3和5的平均数,则由等差数列的性质可知a3+a5=2a4,
又a3+a4+a5=12,从而有3a4=12,解之得a4=4,
同样地,4也是1和7、2和6的平均数,从而有a1+a7=a2+a6=2a4,
所以=,故选C.
评注:无论是第3,4,5项,还是前7项,它们的中项都是第4项,抓住了第4项,也就抓住了本题的根.
【题2】(2013·广东卷第12题)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=_____.
【解析】因为5=,则由等差数列的性质可知2a5=a4+a6,从而有3a5+a7=a4+a5+a6+a7,
同样地,因为5+6=4+7=3+8,于是有a1+a9=a2+a8=a3+a7,
所以3a5+a7=a4+a5+a6+a7=2(a3+a8)=20.
评注:进一步,我们可以将等差、等比数列性质中的项数由2项推广为3项,甚至更多,从而得到:等差数列{an}中任意项数之和相等的m项之和相等,其中mÎN*且m³2.
【题3】(2009·海南卷·文第16题)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=( )
【解析】因为m为m-1和m+1的平均数,则由等差数列的性质可知am-1+am+1=2am,
又am-1+am+1-am2=0,从而有2am-am2=0,解之得am=2,或am=0
同样地,m也是1和2m-1的平均数,而S2m-1=38,
所以==38,若am=0,则不成立,于是有am=2,即(2m-1)×2=38,解之得m=10,故选C.
评注:利用数列的中项解题时,要充分挖掘项数之间的平均关系,此题就是很好的一例.
【题4】(2009·广东卷·文第5题)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3×a9=2a52,a2=1,则a1=
( )
A. B. C.
【解析】考虑到3和9的平均数为6,则由等比数列性质可知a3×a9=a62,
而由题意a3×a9=2a52,可知2a52=a62,则.
因为等比数列{an}的公比为正数,从而可求得数列{an