文档介绍：“2道”拉分题专练卷(二)
1.(2013·温州八校联考)已知函数f(x)=ex+2x2-3x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(2)当x≥时,若关于x的不等式f(x)≥x2+(a-3)x+1恒成立,试求实数a的取值范围.
解:(1)f′(x)=ex+4x-3,则f′(1)=e+1,
又f(1)=e-1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e+1=(e+1)(x-1),即(e+1)x-y-2=0.
(2)由f(x)≥x2+(a-3)x+1,得
ex+2x2-3x≥x2+(a-3)x+1,
即ax≤ex-x2-1.
∵x≥,∴a≤
令g(x)=.
则g′(x)=.
令φ(x)=ex(x-1)-x2+1,
则φ′(x)=x(ex-1).
∵x≥,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在上单调递增,
∴φ(x)≥φ=->0,
因此g′(x)>0,故g(x)在上单调递增,
则g(x)≥g==2-.
∴a的取值范围是.
(0,1)且与直线y=-、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于|AD|,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
解:(1)法一:设动圆圆心为(x,y),依题意得,=|y+1|.
整理,得x2==4y.
法二:设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y=-1的距离相等,
根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹是抛物线.
且其中定点F(0,1)为焦点,定直线y=-1为准线.
所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2=4y.
(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=x2,则y′=x.
设点D,由导数的几何意义知,直线l的斜率为kBC=x0.
由题意知点A,设点C,B,则kBC===x0,即x1+x2=2x0.
因为kAC==,kAB==,
所以kAC+kAB=+==0,即kAC=-kAB.
所以∠BAD=∠CAD.
(3)法一:由点D到AB的距离等于|AD|,可知∠BAD=45°.
不妨设点C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为y-x=-(x+x0).
由
解得点B的坐标为.
所以|AB|=|(x0