13.2 导数的应用 随堂检测（含答案解析）.doc

文档介绍：(2012·高考大纲全国卷)已知函数 f(x)=x3+x2+ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.
解:(1)f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1.
①当a≥1时,f′(x)≥0,当且仅当a=1,x=-1时,
f′(x)=0,所以f(x)是R上的增函数;
②当a<1时,f′(x)=0有两个根
x1=-1-,x2=-1+.
当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;
当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
(2)由题设知,x1,x2为方程f′(x)=0的两个根,故有a<1,x=-2x1-a,x=-2x2-a.
因此f(x1)=x+x+ax1=x1(-2x1-a)+x+ax1
=x+ax1=(-2x1-a)+ax1
=(a-1)x1-.
同理,f(x2)=(a-1)x2-.
因此直线l的方程为y=(a-1)x-.
设l与x轴的交点为(x0,0),得x0=,
f(x0)=3+2+
=(12a2-17a+6).
由题设知,点(x0,0)在曲线y=f(x)上,
故f(x0)=0,解得a=0或a=或a=.