文档介绍：:..第一章复数1欧拉公式z=x+iy=e'°=cos+zsin实部Rez虚部ImzImz〕=Imz22运算****z2u>ReZ]=Rez2②(Z]±z2)=Re(z|±z2)+Im(z1±z2)=(ReZj土Rez2)+(lmz]+Imz2)Z|P③=(兀】+砂1)(兀2+ )=x}x2+zXjy2+ix2y}一y}y2=(兀i兀2-x力)+,(兀1y2+兀2yJZ]色=(兀]+®1)(兀2- )=坷七+必儿+,%兀2一兀22Z2(七+砂2)(兀2-少2)X2+£ X2+©z=x-iy共轨复数z•z=(兀+iy)(x-iy)=x2+y2共轨技巧3代数,几何表示Z与平面点(兀,y) 对应,与向量 对应辐角当沖0时,向量刁和X轴正向之问的夹角B,记作e=Argz=0(}+2k7Tk二±1±2±3…把位于・JiV0()W兀的&()叫做Argz辐角主值记作0()二argz04如何寻找argz71例:z=l-i 4兀z=i —2t• 兀Z=l+1 —4Z=-l H5极坐标:x=rcos&,y=rsind z=x-\-iy=r(cos^4-zsin^)利用欧拉公式宀cos&+isin&可得到z-reieZj-z2=rxete'-r2el°2=r}r2el3i-e,f)2=rxr2e^d{+e^6咼次帚及n次方凡是满足方程con=z的3值称为z的n次方根,记作0)=在Z二“32k叭二0+2k兀—n(p即r-\a)\"0+2k7i(p= n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一ZwD都有WgE・其对应0=/(z)注:与实际情况相比,定义域,值域变化例/(2)=Z②lim/(z)=A z—>z0 称/(z)当zTz°吋以A为极限ZT2。☆当A=/(z0)时,连续例1 证明/(z)=z在每一点都连续证:|/(z)_于(Z°j=|z-zo|=|z-zo|^OZTz°所以/(z)=z在每一点都连续/(z)7(z。)二z_z°3导数/応)巳吧例2 /(z)=C时有(c)'=o....„,/(z+Az)—/(z)C—C所以(Cj=0ub:对\/z右lim—=lim =0&T°Az htoAz例3证明/(z)=z不可导解:令co=z-z()/(z)-/(z°)_Z-z°_Z-Zoco_x-iyz-z0z-z()z-z0cox+iy当CT0时,不存在,所以不可导。定理:/(z)=u(x,j)+iv(x,y)在z二兀+力处nJ导Ou,v在(x,y)处nJ微,且满足C-R条件字普茎普且琲)罟+普oxoyoyox oxox例4证明/(z)=z不可导解:/(z)=z=x-iy其中u{x,y)=xv(x,y)=-yu,v关于x,y可微単=1H$=-1不满足C-R条件 所以在每一点都不可导oxdy例5 /(z)=Rez解:/(z)=Rez=xu[x,y)=xv(x,y)=0単=1工?=o不满足C-R条件 所以在每一点都不可导oxdy例6: /(z)=|z|2解:/(z)=z2=%2+y2其中u{x,y}=X2+y2v(x,y)=0根据C-R条件可得2x=0,2y=0=>x=0,y=0所以该函数在z=0处可导4解析若/(z)在z0的一个邻域内都可导,此时称/(Z)在Z。处解析。(f(g(z)))=f\g\g\z)(zH)=nzr,-1☆(/j=d用C-R条件必须明确u,v四则运算(f±g)=f±gf(¥)Z=kf(/•<?)=F•g+f•g‘丿Q/例:证明f(z)=e:(,)=e~解:/(z)=ez=excosy+iexsiny则u()=excosyv()=exsinydu丫 dvx—=ecosy=—=ecosyox •dy=-exsiny=-?"=-exsiny任一点z=x^iy处满足C-R条件oy ox所以,处处解析/Z(z)=—+i—=excosy+iexsiny=edxdx练****求下列函数的导数/(2)=|z|2-z解:y(z)=z+y2)(x+zj)=x3+zx2y+xy2+iy3=x34-xy2+z(x2>,4-y3)比(%,歹)二兀3+Xy2v(x,y)=x2y+)*所以単=3x2+y2dx半=2%Vdydv-2xy根据C-R方程可得尖=3兀2+y2=£=兀2+3y2dx oy単=2xy=-宾=-2xy=>兀=0,y=0uy ox所以当z=0时/(z)存在导数且导数为(),其它点不存在导数。初等函数I常数II指数函数ez=ex(cosy+isiny)①定义域②ez'-ez-=e2,+Z2③ez+1Jti=ez(cos2^4-zsin2^)=^3@(ez)III对数函数称满足z=的0叫做z的对数函数,记作co=\nz分类:类比匹的求法(