文档介绍：第一讲有理数的巧算
、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.
在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.
例1 计算:
分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.
注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.
例2 计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445.
分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.
解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000.
说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.
例3 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.
分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法.
解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.
下面需对n的奇偶性进行讨论:
当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有
当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有
例4 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?
分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.
现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.
这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.
所以,所求最小非负数是1.
说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2