文档介绍：第 14 讲
§10 不变子群、商群
(Normal subgroup, Quatient group)
本讲的教学目的和要求:在前一讲中,我们已经知道群的每一个子群都能“引导”出一批陪集,这些陪集构成的集合(或)可以构成的陪集分解:.那么是否可以成为一个群呢?如果成群,对有什么特殊的要求吗?本讲正是以这个问题为中心而展开的。为此,要求在本讲的学习中注意下列问题:
1、掌握不变子群的特性,尤其是不变子群的等价定义。
2、商群的证明方法。
3、围绕着不变子群和商群而形成的常见几类例子以及几个思考问题。
本讲的重点和难点:由于在讨论不变子群成立的等价条件时,要用到陪集的一些性质,所以在这里往往会感到棘手一些。另外商群的形成,由于元素都是子集;多少都会带来一些不习惯的感觉。
注:不变子群也叫正规子群。
一、不变子群的引入(本节中我们仍是在右陪集的基础上展开讨论)
设,由而形成的右陪集系为,我们设想可成为群的必要条件:
首先中的运算自然考虑到是“子集的积”(在§9中曾介绍过)
明示1:设都是群的非空子集,那么它们的积
而且易知,这些子集对上述运算是满足结合律的。
由于的任一个右陪集可以看为是二个子集和的积,所以对于“子集的积”能适合结合律:
即
然而还有一个更重要的问题:对于“子集的积”,是否封闭呢?也就是说,中任二个右陪集的积还是右陪集吗?
引理:设和如上所示,那么,.
证明: 由明示1知
∴是以为代表的右陪集.(注:是一个易见的事实)
.§
任取,由知,存在,使
∴,由的任意性知,由的任意性:
.用分别乘两端:
∴有
对于满足条件的子群具有及其重要的意义.
定义:设,如果对于中任一个元,都有
那么称为的不变子群,记为
如果是不变子群,那么的左(右)陪集统一叫做的陪集。
群的平凡子群和都是不变子群。

如果是一个交换群,那么的任一个子群都是不变子群。
因为.
设为群,而叫做的中心
(centre of G),不仅(习题课已证)而且有
设,其中,易知.
例4的证明除了按定义证明外(71页)我们还可以如下考虑:
因为说明关于的陪集只有两个,其中一个必是本身,这个事实不论是左陪集,还是右陪集都成立。于是有了
思考题1:.()
证:..
.
又有且.(都是的陪集分解),于是
.故不论如何都有.
注意:只是说明二个集合相等,绝不意味着元素乘积可以交换。
二、不变子群的基本性质
定理(1—2)设,那么以下条件是等价的
(1)
(2)
(3)
(4)
证明:
. ∴.
注意:上述四个条件中条件(4)是用元素的形式来表达含义的,比较具体些,故实际操作中,(4)的使用比较方便。
设,那么,叫做在中的正规化子。试证
:
证明:.
.那么
.
∴
∴
由上知,.
.
: :
.都有.
明示2:由的定义知,实际上是的将作为不变子群的最大