文档介绍：第 16 讲
第三章环与域
§加群、环的定义
(additive group and definition of ring)
本讲的教学目的和要求:本讲开始在群理论的基础上讨论具有两个二元运算的代数体系—、,,无论在思考问题,提出问题的基本想法,还是在分析问题、解决问题的主要手法方面,对于近世代数对于近世代数来说,都具有普遍的典型的意义。可以说基本上体现了近世代数研究问题的格调与模式。这些对于环的讨论会有重要的启发和借鉴作用。本讲中,主要介绍环的概念—环的主要特性及它与群的联系和区别。在教学还引出了一批环的类别。以及讨论了环在二个运算方面具有的基本性质。由于是刚刚引入一种新的代数体系,所以受到内容的限制,这一讲中不会碰到什么难点。但重点是:清楚环这种代数体系中二种运算中的谐调关系。
环的定义及例子
定义设是具有两个代数运算的代数体系,如果它
满足
(1)是一个加法交换群
(2)一个半群.
(3)的乘法”·”对加法”+”满足左右分配律,
即且
那么称是一个环,在不产生混淆的前提下,可以
记这个环为.

群的四条,其中单位元为0—零元.,的逆元为一
,意味着对”·”满
足封闭和结合律.
例1. 中设为整数集,”+”和”·为.
同理还有有理数环,实数环,复数环。
上述的四个环都是由数组成。故称为数环.
例2. 偶数集
对于整数通常的加法和乘法也是一个环.
,
按数的通常的加法也构成一个环,叫做高斯数环.

合关于多项式

关于的多项式,或一元多项式环.
,那么也能构成
多项式环,譬如,取整数,则
叫做,整系数多项式环.
例5. 取出数域上的全部阶方阵组成的集合,
关于矩阵的加法和乘法构成一个环,这个环
叫做阶全矩阵环,或称为阶矩阵环.
,若用数环替代数域后,结果仍成立,譬如.
用偶数环替换,得到
也是一个环.
两个重要的环
关于环,.
(1)模的剩余类环
在第二章里,我们曾讨论模的剩余类加群. (其中加群中的加法采用“钟表加法”).为做成为一个环,首先要对再定义乘法”·”:
:
显然,这里也采用了“钟表计数法”于是可以验证是一个环.
为了方便起见,特取,现考察是一个环.
事实上:(1)正是模6剩余