文档介绍：第 17 讲
§交换律、单位元、零因子、整环.
(Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain)
讲本讲教学目的和要求:由环的定义,环是在某集合上定义了两种代数运算,,—,一旦某些乘法方面再满期点头其它一些条件,,没有零因子的环和整环,:
1、交换环仅是对乘法而言,.
2、有单位元的环(习惯上称心内幺元)具有的一些重要性质.
3、零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性.
4、什么是整环,什么是除环和域,它们之间的差别和联系.
本讲的重点和难点:零因子是一个新的概念,”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明是难点.
交换环
设为环,已知关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘法”·”,也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有
:
都有,那么称此环是交换环.
,在§1中所介绍的所有数环,一元多项式,.
,那么环必是变换环.
证明: 是循环群,即

, 而
.
:,那么必是变换环.
交换环的性质:设是交换环..那么
(1)
(2) 中满足:,
(3) 中满足二项式公式:
无零因子环
在§1中已知:“”但反之,
“”这样一条普通的计算规则,在一般的环中未必成立
譬如,在剩余类环中.
但
譬如在二阶中, ,,
但,为什么会发生这种现象?
,如果中元,但,那么称是的一个左零因子,是的一个右零因子.(∴上例中[2],都是左零因子,[3],都是右零因子)
,关于零因子的概念要做如下解释:
①中左零因子和右零因子这两个概念是彼此依赖, 彼此依托—“共存亡”:有左零因子有右零因子.
由上可知,欲说明是左零因子,则只需证明存在,使.
欲说明不是左零因子,只需证明任一个,都有(或一旦)
②若是的左零因子,一般未必同时是的右零因子.(比如,在中,只是右零因子,不是左零因子,其中,
).
③环中元素若既是左零因子,又是右零因子,那么就称为零因子.
显然,若环是变换环时, 的每个左(右)零因子都是零因子.(中,和都是零因子)
(自然也就没有右零因子),那
么称为无零因子环.
一个环是否为无零因子环,与环中乘法的一个重要运算规则—消去律有着密切的联系.
复习消去律的概念:设.
左消去律:
右消去律:
定理设是一个环,那么
(1)若中没有左零因子中没有左消去律.
(2)若中没有右零因子中没有右消去律.
证明: (1),. (否则就成了左零因子)即
由的任意性中满足左消去律.
设,如果
显