文档介绍：第 13 讲
习题课
本讲的教学目的和要求:自目前为止,已经完成了第二章群论部分的前九节的教学内容。本讲主要对§6置换群、§7循环群、§8子群、§9子群的陪集这四节内容进行习题训练。通过本次习题课要求:
1、熟悉掌握置换,尤其是循环置换的乘法运算,化成对换之积的基本方法,以及有关基本理论问题的分析方法。
2、对循环群(主要是有限阶循环群)元素阶的理论证明,要能了解并掌握。
3、子群的判断和特殊子群的性质证明要求熟练。
4、利用Lagrange定理解决一些群分类的问题。
本讲教学的教法:由教师提出问题——分析问题——提示解决问题的思路——由学生解题——出示解题答案——总结,并请同学提疑——由教师解答并小结
习题1
(1)证明中每个元都可以写成(12),(13)的乘积。
(2)进而证明中的每个元都可以写成(12),(13),…,(1n)中若干个对换的乘积。
证明:(1)={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
于是:(1)=(12)(12)(13)(13)
(12)=(12)
(13)=(13)
(23)=(123)(12)=(12)(13)(12)
(123)=(12)(13)
(132)=(13)(12)
(2)分析:从(1)中看出:
①若轮换中出现1,那么用公式:即可。
②若轮换中没出现1,那么使用公式:即可。
(这里)
证明思路:
第一步:因为中每个置换都可写成若干个不相连的轮换之积,所以只需讨论轮换即可:
第二步:如果轮换中有1,则可以写成,由第一个公式即可。
第三步:如果不含1,那么用第二个公式即可。
习题2
设是一个无限循环群,又设是一个6阶循环群,证明:~(同态)
利用(1)的证明思路证明:若是无限循环群,而是阶循环群,证明~。
有上面的基本,则可证明61页习题5。
证明:(1).
.
作,(这里).
首先: ∴取有是满射.
其次..,那么
∴.而.
∴????
由上可知,是同态满射,即~
利用上述方法,证明(2)
的思路:(ⅰ)若是无限群。则。由同构的传递,自然有。(ⅱ)若