文档介绍：第 15 讲
§11 同态与不变子群
(Homomorphism and normal subgroup)
本讲的教学目的和要求:在上讲中我们已经了解到:对群的任一个不变子群,都可极其自然地得到一个新的群——商群。由此,我们都不会怀疑与商群具有密切的联系。而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中,我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。群的同态象可以设想是的一个“粗略”的模型;忽略了中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。都知道,两个群之间的关系只有同态关系,于是我们有(ⅰ)到有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群;(ⅱ)到有满同态,则意味着就是的商群(在同构下);(ⅲ)到有非单非同态,则在同构意义下意味着的一个商群与的一个子群一样。上述存在的关系就是本节的重点。为此需要弄清:
1、每一个同态核都是不变子群(这与同态是否为单、满无关)
2、利用自然同态得到:每个同态象都是商群,如何理解。
3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。
4、子群(不变子群)的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点:本节是以子群和商群为基本语言,用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
一、群同态及同态核
定义1:设是一个群同态映射,(即),那么的单位元的全部原象(逆象)作成的集合叫做的核,记为。
即.
结论1:设是群同态映射,那么.
证明:设..∴.
.故.
∴.
..∴.
由上知.
.
∴
由上知
结论2:设是的群同态映射的核,那么是单同态
.
证明:. .
..
设且有,即
.即. ∴是单射.
二、群的同态基本定理(FHT)
定理1 设为群,而是的任一个不变子群,那么必有群同态满射,其中:.
证明:显然(这里与教材一致,用左陪集的形式出现)是一个映射,(因为以为代表元的做陪集的唯一确定的)
又因为,那么是满射
最后,
∴
即一个群同态满射,即,或者说,是的同态象,及与同态。
明示1:
(1)对上述的同态满射习惯上称作是群的自然同态。所以这样称呼,除了的对应法则极其自然外,还告诫我们与之间的同态满射还有其余的。
(2)由定义1知,自然同态必有同态核,易知,自然同态的同态核恰是。
定理1表明,群的每个商群都为的同态象。而且能够以
为核将这个同态关系表现出来。于是由同态象的意义(传递性)知:的每个商群都会在某些方面有些象,进而,可由商群的某些性质去推测群的一些性质。一般来说,商群要比简单些,(因为是的元素以为模归类做成的陪集而形成的群),所以,为我们在研究上带来方便。
除了上述外,定理1的重要性还在于它具有某些完备性——的每一个同态象就是的商群(在同构下)
定理2:设与是同态的群:且,那么。
证明:有结论1,所以得到商群。现定义,其中
(ⅰ)是映射:如果且. ∴.
∴的对应关系与陪集的代表元选取无关是映射.
(ⅱ)是满射: ,,
有.
∴是满射.
(ⅲ)是单射,若
∴是单射.
(ⅳ)
,∴即为群同态映射
由(ⅰ)——(ⅳ)知,是群同构映射,即.
明示2:按代数的观点,同构的群就是同样的群,因此,定理2表明,群只能与它的商群同态,或者说,的任何一个同态象必与的某个(且能够肯定的指明是哪个)商群一样。
注意1:上述的定理1和定理2习惯统称为群的同态基本定理。(FHT)
例1:设.
.
——非零实数的乘法群。
首先有,,其中,可知是群同态满射(证明略),即,因为,故知,由定理2
.
利用群的同态基本定理,我们可以得到有关同态关系的问题。
结论3:设是群同态映射,那么必存在唯一的群同态映射,使右三角图交换(即)其中是自然同态,并且有必是单同态,而且是满射是满射。
证明:由于是群同态映射,由结论1知,所以由定理1,且是自然同态。
(ⅰ)存在群同态单射:,其中
是群同态单射(按定理2的证明方法)
(ⅱ)是能使三角关系图交换:
由的任意性
(ⅲ)是唯一的:若还有一个群同态单射使,那么
,则,由的任意性
.
(ⅳ)满射当且仅当是满射:
若是满射由定理2是群同构∴是满射.
若是满射...
∴是的逆象是满射.
注意2:习惯上称为的导出同态。
三、子群与子群的完全原象
设是映射:都知道:3的象是,而称3是的逆象(原象),但的逆象不仅3一个,还有1和4,于是令,则称是的完全原象,通常将记为
同理——由和的全部逆象作成的的子集。
定义2:设是群同态映射,若,那么由子群中的元素在内的全部逆