文档介绍：第一章典型例题与综合练习
第一节典型例题
一、函数的概念
例1求函数的定义域.
解:要使函数有意义,必须
,即
故定义域
例2求函数 的定义域.
解:分段函数的定义域是自变量x取值的各个区间的并集,即,亦即.
例3已知函数f (x+1)=x2+4x-3,求f (x),,f(0),f(1).
解方法一:
f(x)=f((x-1)+1)=(x-1)2+4(x-1)-3=x2-2x+1+4x-4-3=x2+2x-6;
=+2-6==;
f(0)=02+2´0-6=-6;f(x)=12+2´1-6=-3
方法二:将x+1看作一个变量,得f(x)=x2+2x-6,后面的作法同方法一,分别得出,
例4判断函数f(x)=(x2+1)的单调性.
解:易知函数f(x)=(x2+1)为偶函数,偶函数的图形关于y轴对称,故只需讨论x>0时函数的单调性.
对任意x1>x2>0,有x12+1>x22+1
<1,此时对数函数单调减少,故
(x12+1)<(x22+1),即f(x1)<f(x2)
由单调性定义可知当x>0时,f(x)=(x2+1)<0时,f (x)=(x2+1)是单调增函数.
因此函数f (x)=(x2+1)在(-∞,0)上单调增加,在(0,+∞)上单调减少.
例5设函数f (x)和g(x)都是奇函数,试证f (x)·g(x)是偶函数.
证明:已知f(x)和g(x)都是奇函数,由定义可知,对任意x,有
f (-x)=-f (x);g(-x)=-g(x),上两个等式的左右端分别相乘得
f(-x)·g(-x)=(-f(x))·(-g(x))=f(x)·g(x)
即对任意x有f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x)
由定义可知f (x)·g(x)是偶函数.
二、函数的运算
例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算:
(1)y=ln(tan);(2)y=cos2x
解:(1)y=lnu,u=tanv,v=,w=x2+1
其中y,u,v作为中间变量u,v,w的函数都是基本初等函数,而w是幂函数x2与常数函数1的和.
(2) y=eu v2,u=x2,v=cosx
y是指数函数eu和幂函数v2的乘积,u,v为中间变量.
三、经济分析中的常见函数
例1某种产品的需求函数为qd=100-2 p,供给函数为qs=10p-8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解:由100-2p=10p-8;移项整理得12p=108,故p0=9
因q0=100-2p0,故q0=82
即该产品的市场均衡价格为9,市场均衡数量为82.
例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,试求生产该产品的固定成本,并求当产量q为50时的平均成本.
解:固定成本就是当产量为零时的总成本,设为c0,有c0=C(0)=80
因为平均成本为=
所以(50)===
即生产该产品的固定成本为80,.
例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C(q)=500+2q (元),其中q为该产品的产量,如果该产品的售价定为每件6元,试求:(1