文档介绍：第二节可测函数的收敛性
第四章可测函数
⒈函数列的几种收敛定义
⑵一致收敛:
注:近似地说一致收敛是函数列
收敛慢的程度能有个控制
近似地说一致连续是函数图
象陡的程度能有个控制
fn(x)=xn
⑴点点收敛: 记作
1-δ
例:函数列
fn(x)=xn , n=1,2,…
在(0,1)上处处收敛到
f(x)=0,但不一致收敛,
但去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合
上一致收敛
fn(x)=xn
⑶几乎处处收敛: 记作(almost everywhere)
即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛
即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛
⑷几乎一致收敛:记作(almost uniformly)
⑸依测度收敛: 记作
注:从定义可看出,
几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零测度集外)
依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛,其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零,而不论点集的位置状态如何
不依测度收敛
依测度收敛
⒉几种收敛的区别
说明:当n越大,取1的点越多,故{fn(x)}在R+上处处收敛于1
(1)处处收敛但不依测度收敛
n
在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,
所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1,另外{fn}不几乎一致收敛于1
fn不几乎一致收敛于f
几乎一致收敛:记作(almost uniformly)
即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛
即:去掉测度集,在留下的集合上仍不一致收敛
任意( )
适当小
小
fn不几乎一致收敛于f
即:去掉任意小(适当小)测度集,在留下的集合上仍不一致收敛
不几乎一致收敛于f(x)=1
n
(2)依测度收敛但处处不收敛
0 1
f1
f6
0 1/4 ½ 3/4 1
0 1/4 ½ 3/4 1
0 1/4 ½ 3/4 1
0 1/4 ½ 3/4 1
f7
f5
f4
0 ½ 1
f3
0 ½ 1
f2
0 1/8 1/4 ½ 1
f8