文档介绍：加试模拟训练题( 31) 1、设△ ABC 是等边三角形, P 是其内部一点,线段 AP 、 BP 、 CP 依次交三边 BC 、 CA 、 AB 于A 1、B 1、C 1 : A 1B 1·B 1C 1·C 1A 1≥A 1B·B 1C·C 1A. 2. 设实数 x 1,x 2,…,x 1997 满足条件 3、在黑板上写下从 1到 1988 A和B :先是 A 后是 B ,接着再是 A ,然后再是 B , A 是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数( 对不同次的运算 A ,减数可以不相同) .运算 B 是抹去黑板上写着的两个数, A和B 如此顺次施行,直至某次运算 B 后,黑板上只留下一个数,并且它是非负的,问这个数是多少? 加试模拟训练题( 31) 1、设△ ABC 是等边三角形, P 是其内部一点,线段 AP 、 BP 、 CP 依次交三边 BC 、 CA 、 AB 于A 1、 B 1、C 1 三点. 证明: A 1B 1· B 1C 1· C 1A 1≥ A 1B· B 1C· C 1A. 【题说】第三十七届( 1996 年) IMO 预选题. 【证】由余弦定理 A 1B 1 2=A 1C 2+B 1C 2-A 1C·B 1C ≥ 2A 1C·B 1C-A 1C·B 1C = A 1C· B 1C 同理, B 1C 1 2≥ B 1A· C 1A, C 1A 1 2≥ C 1B· A 1B. 由塞瓦定理得 A 1CA 1B · B 1AB 1C · C 1BC 1A =1 所以 A 1B 1·B 1C 1·C 1A 1≥ A 1C·B 1C·B 1A·C 1A·C 1B·A 1B =A 1B·B 1C·C 1A·A 1CA 1B · B 1AB 1C · C 1BC 1A =A 1B·B 1C·C 1A 2. 设实数 x 1,x 2,…,x 1997 满足条件【题说】 1997 年中国数学奥林匹克题 1. 即 3x-y+a =- 954 (1′) x+y= 1996 (2′) 相加得 4x+a= 1042 .从而 a= 1042 - 4x 为整数且 a≡ 2(mod 4) .因最大值 189548 . 3、在黑板上写下从 1到 1988 A和B :先是 A 后是 B ,接着再是 A ,然后再是 B , A 是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数( 对不同次的运算 A ,减数可以不相同) .运算 B 是抹去黑板上写着的两个数, A和B 如此顺次施行,直至某次运算 B 后,黑板上只留下一个数,并且它是非负