文档介绍：希尔伯特空间
表象概念
第四章量子力学的表述形式
状态波函数是以坐标为变量的, 称坐标表象中的态函数.
另一方面(一维为例):
其中:
()
()
()
为坐标表象中, 动量算符的本证函数.
(),()实际为付里叶变换及其反变换.
可见, 和有着同等的地位, 称动量表象中的态函数.
事实上, 为动量表象中, 坐标算符的本证函数.
推广: 描述状态波函数, 可选择感兴趣的力学量F表象.
: 粒子在均匀力场中运动, 求定态波函数.
解: 定态方程:
做付里叶变换:
()
()
()
能否换到动量表象中求解上述方程?
则:
又:
得:
()
()
把(),()和()代入()得动量表象中的定态方程:
()
()
()
此时哈密顿算符和坐标算符分别为:
易得()的解:
进而:
()
另是, 系统能量E是可连续取值的(因为不受任何边界条件限制)
希尔伯特空间
由于波函数可以有不同的表述方式(即在不同表象中表示), 故可把波函数用一个抽象的无穷维的复线性矢量空间(称希尔伯特空间)中的矢量表示, 称态矢量.
而波函数在不同表象中的表示是态矢量按不同基矢展开的结果(可类比三维实线性空间中的矢量).
()
希尔伯特空间中, 两矢量和其内积(点积)定义为:
1. 正定性: 等号对应于
2. 共轭对称性:
()
3. 线性:
()
且有如下性质:
()
4. 共轭算符定义为:
()
5. 厄米算符满足:
()
态矢量和算符
态矢量及狄拉克符号
状态用希尔伯特空间中的矢量描述, 称态矢量.
狄拉克符号: 右矢和左矢
状态用右矢标记,即:
()
本节拟在希尔伯特空间中阐述量子力学理论.
左,右矢关系为:
态矢量满足:
1. 叠加原理:
若是两个态矢量, 则:
()
也为态矢量, 为任意复数.
()
2. 加法交换律及结合律
若:
()
其中不全为零, 称这个矢量是线性相关的, 否则为线性独立的.
3. 线性相关判别:
()
例如,若:
则和线性相关.
态矢量的点积
点积: 记为: (是个复数).
()
()
()
其共轭:
或:
厄米算符
算符定义为:
若为线性算符, 则:
()
转置复共轭定义为:
()
厄米算符:
()
()
()
满足:
并矢:
并矢是个算符, 事实上:
()
由于点积为复数(非矢量), 令:
()
则:
()
因此并矢是个算符.
厄米算符的本征值与本征矢
()
()
()
本征值方程记为:
或:
分立谱
定理一: 厄米算符的本征值是实数.
()
证: 因:
()
连续谱
厄米算符满足(), 故
()
定理二: 厄米算符对应不同本征值的本征矢相互正交.
()
证: 因:
()
又:
两式相减得:
因:
得:
()
定理三: 对应厄米算符同一本征值的线性独立的本征矢, 它们的线性叠加也为对应该本征值的本征矢.
证(略).
该定理说明其线性相关的对应同一本征值的本征矢为无穷多个, 但线性独立的仅有(简并度)个.