文档介绍：第三章幂级数
+¥
在函数级数中令 n ,为最简单的幂级数,则我们得到形为
åun (x) un (x) = an (x ­ x0 )
n=1
+¥
n 的函数级数,称之为处展开的幂级数本章中我们将讨论幂级数的性质,
åan (x ­ x0 ) x0 .
n=0
并证明从可导性而言,幂级数构成所有函数中最好的一类函数. 幂级数更进一步的理论将在
《复变函数论》中讲授.
+¥
从形式上看,幂级数 n 是多项式的推广,利用变换,我们可
å an (x ­ x0 ) x = x ­ x0
n=0
+¥
以仅考虑形如 n 的幂级数
å an x .
n=0
§1 幂级数的收敛半径
+¥ +¥
定理:设幂级数 n 在收敛,则对于任意, n 在
5. 1. 1 å an x x0 0 £ r < x0 å an x [­r,r]
n=0 n=0
上绝对一致收敛.
n
+¥ +¥ æ x ö +¥
证明:当时, n n ç ÷ . n 收敛,因而 n ,
x Î [­r,r] å an x = å a n x0 ç ÷ å an x0 an x0 ® 0
n=0 n=0 è x0 ø n=0
n n
æ r ö +¥ æ r ö
得存在,使对于任意,恒有 n ,因而 n ç ÷ . 但ç ÷ 收
M n an x0 £ M an x £ M ç ÷ å M ç ÷
è x0 ø n=0 è x0 ø
+¥
敛,由控制收敛判别法,得 n 在上绝对一致收敛
å an x [­r,r] .
n=0
+¥
设 n 是给定的幂级数,定义
å an x
n=0
ì +¥ ü
n在收敛
R = sup í x å an x x ý .
î n=0 þ
+¥
由于时总是收敛的,因而是有意义的,并且称为幂级数 n 的
x = 0 R 0 £ R £ +¥ . R å an x
n=0
收敛半径,其意义是
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+¥ +¥
定理:设是幂级数 n 的收敛半径,则对于任意, n
5. 1. 2 R > 0 å an x 0 < r < R å an x
n=0 n=0
+¥
在上一致收敛;而对, n 在发散
[­r,r] x Ï[­R, R] å an x x .
n=0
+¥ +¥ x n
例:令 n ,对于任意,由达郎倍尔判别法,
5. 1. 1 å an x = å x Î (­¥,+¥)
n=0 n=0 n!
x n+1 x n x +¥ x n +¥ x n
= ® 0 ,因而å 收敛,得å 的收敛半径为 R = +¥ .
(n +1)! n! n +1 n=0 n! n=0 n!
+¥
例 5. 1. 2:对任意 x ¹ 0 ,由 n!x n ® ¥ n 得å n!x n 发散,因而其收敛半径为 R = 0 .
n=0
+¥ x n +¥ x n
例 5. 1. 3:å 在(­1,1) 内收敛,在 x =1时发散,因而其收敛半径 R =1. å 在
n=0 n n=0 n
收敛区域(­1,1) 的一个端点 x = ­1收敛,而在另一端点 x =1时发散.
+¥
例 5. 1. 4:å x n 在(­1,1) 内收敛,但在两个端点都不收敛.
n=0
+¥ x n
例 5. 1. 5:利用达郎倍尔判别法不难看出, 在 x <1 时收敛, x >1 时发散,因
å 2
n=0 n
而收敛半径为 1,其在收敛区域(­1,1) 的两个端点都是收敛的.
达郎倍尔判别法可以用来求给定幂级数的收敛半径.
+¥
n an+1 1
定理 5. 1. 3:对给定的幂级数 an x ,如果 lim = ρ,则 R = .
å n®+¥
n=0 an ρ
n+1 +¥
an+1 1 an+1x n
证明:如果 lim = ρ,则当 x < 时 lim = ρ x < 1, 因而 an x 收
n®+¥ n®+¥ n å
an ρ an x n=0
n+1 +¥
1 an+1x n 1
敛. 而 x > 时 lim = ρ x >1, an x 发散,因而 R = .
n®+¥ n å
ρ an x n=0 ρ
同理,我们也可用 Cauchy 判别法给出幂