文档介绍：第三讲幂级数
复习上讲教学内容
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本讲教学内容
1. 函数项级数的概念;
2. 幂级数的收敛性及其运算。
【教学目的与要求】
1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念;
2. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法;
, 会应用这些性质求和函数。
【教学重点与难点】
重点: 幂级数收敛半径和收敛区间的求法;
难点: 求和函数。•
§ 幂级数
一、幂级数的概念
定义1 形如
的级数,称为关于的幂级数,其中都是常数,称为幂级数的系数.
形如
的级数,称为关于的幂级数.
将换成,这个级数就变为.
下面将主要研究形如的幂级数.
2. 收敛域
幂级数当取某个数值后,就变成一个相应的常数项级数,,称为它的一个收敛点;若在点处发散,称为它的一个发散点;的全体收敛点的集合,称为它的收敛域;全体发散点的集合称为它的发散域.
例1 判断幂级数的敛散性.
解由第一节例3可知,当时,该级数收敛于和,当时,,其收敛域是开区间,发散域是及.
二、幂级数的收敛性
定理1 (阿贝尔定理)若幂级数当时收敛,则对的,,若幂级数当时发散,则对一切适合不等式的,幂级数都发散.
证若在处收敛,则
,
于是,,使对一切的都有
,
当时,.,级数收敛;即级数绝对收敛.
,使得时,,绝对收敛;,幂级数发散.
推论若幂级数不是仅在处收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数存在,使得
当时,幂级数绝对收敛;
当时,幂级数发散;
当与时,幂级数可能收敛也可能发散.
,,我们规定它的收敛半径;若对任何实数,幂级数皆收敛,则规定其收敛半径,.
定理2 设幂级数,若;则幂级数的收敛半径为
.
例1 试求下列幂级数的收敛区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
解(1)因为,, 发散;当时,发散;因此,其收敛区间是.
(2)
.当时,发散;当时,由莱布尼兹判别法知,条件收敛;因此其收敛区间为.
(3)因为,所以收敛半径
.当时, 发散;当时,条件收敛,因而其收敛区间为.
(4)