文档介绍：函数有精确表示和近似表示。
精确表示(解析表示):
表示为初等函数通过四则运算
近似表示:
逼近近似表示为初等函数通过四则运算
级数表示表示为一个函数级数
第三章幂级数展开
复数项级数;
变项级数(函数级数);
幂级数;
幂级数对复变函数研究的应用:
泰勒级数;
洛朗级数,函数的奇异性研究。
复数项级数
级数是无穷项的和
1. 级数的收敛和柯西判据
复无穷级数
每一项为
收敛
如果极限
存在并有限
收敛:
充要条件是其实部与虚部都收敛
柯西判据:复数项级数收敛的充要条件是,对于一小的正整数,必存在一 N 使得 n>N 时有
式中 p 为任意正整数。
2. 绝对收敛
收敛。
两个绝对收敛的和,积,仍绝对收敛。
3. 复变项级数
的每一项都是复变函数。
实际上,对于 z 的一个确定值,复变项级数变成一个复数项级数。
则原级数收敛。
复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。
收敛
复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛,则称在 B 中收敛。
它满足柯西判据:
复数项级数收敛的充要条件是,对于一小正整数,必存在一 N(z)
使得 n>N(z) 时有
一致收敛
当 N 与 z 无关时。
即对 B 中所有点给定,就有一个统一的 N 使判据得到满足。
一致收敛的级数的每一项若为连续函数,级数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积分。
绝对一致收敛
在区域 B 中,复数项级数的各项满足
而数项级数
收敛。
即在各点都绝对收敛
给定
收敛,但与 z 的位置有关。
幂级数
幂函数的复变项级数
对于各复常数
级数
叫以为中心的幂级数。
1. 定义
()
z0
2. 收敛的达朗贝尔判据
研究() 的模的如下级数
满足
则实幂级数() 收敛,且复幂级数() 绝对收敛。
()
()